\(\rho_{1}\) იყოს სიმკვრივე პირველი ამოქაჩვის შემდეგ. მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ, რომ
\(V\rho =\left ( V+\Delta V \right )\rho _{1}\) ანუ \(\rho _{1}=\frac{V\rho }{\left ( V+\Delta V \right )}\)
ანალოგიურად \(\rho_{2}\) იყოს სიმკვრივე მეორე ამოქაჩვის შემდეგ. მაშინ
\(V\rho _{1}=\left ( V+\Delta V \right )\rho _{2}\) ანუ \(\rho _{1}=\frac{V\rho }{\left ( V+\Delta V \right )}\)\(\rho _{2}=\frac{V\rho _{1}}{\left ( V+\Delta V \right )}=\left ( \frac{V}{V+\Delta V} \right )^{2}\rho _{0}\)
ასე შემდეგ და n-ური ამოქაჩვის შემდეგ
\(\rho _{n}=\left ( \frac{V}{V+\Delta V} \right )^{n}\rho _{0}\)
რადგან მუდმივი ტემპერატურის დროს წნევა პროპორციულია სიმკვრივის ამიტომ
\(p_{n}=\left ( \frac{V}{V+\Delta V} \right )^{n}p_{0}\)
ამოცანის პირობით \(\frac{p_{n}}{p_{0}}\) უნდა იყოს \(\frac{1}{\eta }\)
ამიტომ
\(\frac{1}{\eta }=\left ( \frac{V}{V+\Delta V} \right )^{n}\) ანუ \(\eta =\left ( \frac{V+\Delta V}{V} \right )^{n}\)
საიდანაც \(n=\frac{ln\eta }{ln\left ( 1+\frac{\Delta V}{V} \right )}\)
ვთქვათ ცილინდრის ზედა და ქვედა ნაწილებში T0 ტემპერატურაზე წნევები არის p1 და p2 შესაბამისად. დგუშის წონასწორობის პირობა ამ ტემპერატურაზე არის
\(p_{1}S+mg=p_{2}S\) ანუ \(p_{1}+\frac{mg}{S}=p_{2}\) (m არის დგუშის მასა)
მაგრამ \(p_{1}=\frac{RT_{0}}{\eta V_{0}}\) (სადაც V0 ქვედა ცილინდრის საწყისი მოცულობა)
ასე რომ \(\frac{RT_{0}}{\eta V_{0}}+\frac{mg}{S}=\frac{RT_{0}}{V_{0}}\)
ანუ \(\frac{mg}{S}=\frac{RT_{0}}{V_{0}}\left ( 1-\frac{1}{\eta } \right )\) (1)
T იყოს საძებნი ტემპერატგურა და ამ ტემპერატურაზე ქვედა ცილინდრის მოცულობა ხდება V', მაშინ ამოცანის მიხედვით ზედა ცილინდრის მოცულობა იქნება \(\eta 'V'\)
ამდენად \(\frac{mg}{S}=\frac{RT}{V'}\left ( 1-\frac{1}{\eta '} \right )\) (2)
(1) და (2) დან გვექნება
\(\frac{RT}{V_{0}}\left ( 1-\frac{1}{\eta } \right )=\frac{RT}{V'}\left ( 1-\frac{1}{\eta '} \right )\)
ანუ \(T=\frac{T_{0}\left ( 1-\frac{1}{\eta } \right )V'}{V_{0}\left ( 1-\frac{1}{\eta '} \right )}\) (3)
რადგან სრული მოცულობა არ იცვლება
\(V_{0}\left ( 1+\eta \right )=V'\left ( 1+\eta '\right )\) ანუ \(V'=\frac{V_{0}\left ( 1+\eta \right )}{\left ( 1+\eta ' \right )}\)
ჩავსვათ ეს (3)-ში და მივიღებთ
\(T'=\frac{T_{0}\left ( 1-\frac{1}{\eta } \right )V_{0}\frac{\left (1+\eta \right )}{\left (1+\eta ' \right )}}{V_{0}\left (1-\frac{1}{\eta '} \right )}=\frac{T_{0}\left ( \eta ^{2}-1 \right )\eta '}{\left ( \eta '^{2}-1 \right )\eta }\)
თუ N2 და CO2 თითოეული არის იდეალურ აირი, მაშინ მათი ნარევიც შეიძლება ჩაითვალოს იდეალურად და
\(pV=\nu RT\) ანუ \(p_{0}V=\nu RT\)
სადაც \(\nu\) არის მოლების სრული რაოდენობა რაც ტოლია N2 და CO2 მოლების რაოდენობის ჯამის
\(\nu=\nu_{1}+\nu_{2}\)
სადაც
\(\nu_{1}=\frac{m_{1}}{M_{1}}\) და \(\nu_{2}=\frac{m_{2}}{M_{2}}\)
ნარევის სიმკვრივისთვის გვექნება
\(\rho =\frac{m_{1}+m_{2}}{V}=\frac{m_{1}+m_{2}}{\left (\nu RT/p_{0} \right )}=\frac{p_{0}}{RT}\frac{m_{1}+m_{1}}{\nu _{1}+\nu _{1}}=\frac{p_{0}}{RT}\frac{\left (m_{1}+m_{1} \right )M_{1}M_{2}}{\nu _{1}M_{2}+\nu _{1}M_{1}}\)
ვთქვათ ნაზავი შეიცავს H2-ის და He-ის აირების ν1 და ν2 მოლებს შესაბამისად. ამიტომ
\(m_{1}=\nu _{1}M_{1}\) და \(m_{2}=\nu _{2}M_{2}\) სრული მასისთვის გვექნება
\(m_{1}+m_{2}=\nu _{1}M_{1}+\nu _{2}M_{2}\) (1)
ამავე დროს თუ ν არის მოლების სრული რაოდენობა მაშინ
\(\nu =\nu _{1}+\nu _{2}\) (2)
(1) და (2) გამოსახულებების გამოყენებით
\(\nu _{1}=\frac{\left ( \nu M_{2}-m \right )}{M_{2}-M_{1}}\), \(\nu _{2}=\frac{\left ( m-\nu M_{1} \right )}{M_{2}-M_{1}}\)
აქედან მივიღებთ
\(m _{1}=M_{1}\frac{\left ( \nu M_{2}-m \right )}{M_{2}-M_{1}}\), \(m _{2}=M_{2}\frac{\left ( m-\nu M_{1} \right )}{M_{2}-M_{1}}\)
და გვექნება
\(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{M_{1}}{M_{2}}\frac{\left ( \nu M_{2}-m \right )}{m-\nu M_{1}}\)
მიღებული შედეგი შეიძლება გამოვსახოთ ნაზავის ეფექტური მოლური მასით
\(M=\frac{m}{\nu }=m\frac{RT}{\rho V}\)
\(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{M_{1}}{M_{2}}\frac{\left ( M_{2}-M \right )}{M- M_{1}}=\frac{1-M/M_{2}}{M/M_{1}-1}\)
ჩასმით მივიღებთ პასუხს