გაუსის თეორემის დამტკიცების მსგავსად ნაბიჯ-ნაბიჯ ვაწარმოოთ თეორემის მტკიცება უმარტივესიდან რთულისკენ. 

ა) განვიხილოთ ჯერ უმარტივესი შემთხვევა – მუდმივი დენი უსასრულოდ გრძელ წვრილ სწორხაზოვან სადენში.

კონტური  არის წრე, რომელიც პერპენდიკულარულია მის ცენტრში გამავალი სადენისადმი. 

 

ცხადია,  კონტური ემთხვევა დენიანი სადენის მაგნიტური ინდუქციის ერთ-ერთ წირს. აქედან ნათელია, რომ ინტეგრების ქვეში პირდაპირ გვექნება წევრი  (კონტურის ნებისმიერ მცირე უბანზე ვექტორების  და  მიმართულებები ერთმანეთს ემთხვევა). ღერძული სიმეტრიის გამო  ინდუქციის ვექტორი დამოკიდებულია მხოლოდ სადენიდან მანძილზე და ამდენად მუდმივია  რადიუსის მზონე წრეწირზე. ამიტომ მისი გამოტანა შეიძლება ინტეგრების ნიშნიდან:

                  (*)

ბიო-სავარ-ლაპლასის კანონისა და სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენების შედეგად უკვე ვიცით, რომ უსასრულოდ გრძელი სწორგაზოვანი დენიანი სადენისთვის 

ამის ჩასმით (*) გამოსახულებაში მივიღებთ:

რაც სწორედ ემთხვევა ჩვენი თეორემის მტკიცებულებას.

ბ) ოდნავ გავართულოთ მდგომარეობა - ვთქვგათ  კონტური კვლავ პერპენდიკულარულია უსასრულოდ გრძელი სწორხაზოვანი სადენისა, რომელიც მოთავსებულია კონტურის ფარგლებში, მაგრამ კონტური ამჯერად არის ნებისმიერი ფორმის (ნახ ა)

ჩავწეროთ გეომეტრიული მოსაზრებებიდან გამომდინარე ცხადი გამოსახულებები:

ჩავსვათ მასში მაგნიტური ინდუქციის გამოსახულება უსასრულოდ გრძელი სწორხაზოვანი დენიანი გამტარისთვის. შედეგად მივიღებთ ციურკულაციის გამოსათვლელ ინტეგრალქვეშა გამოსახულებას:

.

ახლა ამოცანა გამარტივდა, რადგან ერთადერთი ცვლადი დარჩა  რადიუსვექცორის მიერ  კონტურის შემოვლის  კუთხე. მივიღებთ:

რაც ისევ ემთხვევა თეორემის მტკიცებულებას.

გ) ვთქვათ ახლა გამტარი გადის კონტურს გარეთ (ნახ. ბ).

 კონტური გავყოთ ორ უბნად. ინტეგრალიც გაიყოფა ორ ინტეგრალად და 1 წერტილიდან 2 წერტილში ინტეგრებისას კუთხე   და  ვექტორებს შორის იქნება მახვილი და შესაბამისად მათი სკალარული ნამრავლის ნიშანი იქნება დადებითი, ხოლო წერტილი 2-დან წერტილ 1-ში ინტეგრებისას ლუთხე   და  ვექტორებს შორის იქნება ბლაგვი და მათი სკალარული ნამრავლის ნიშანი იქნება უარყოფითი. საბოლოოდ

ეს ნიშნავს, რომ კონტურს გარეთ მოქცეულ დენებს ცირკულაციაში წვლილ არ შეაქვთ.

დ) დაგვრჩა განვაზოგადოდ შედეგები, როცა კონტური არ არის ბრტყელი (ადვილი მისახვედრია, რომ შდეგი ამავდროულად ზოგადი იქნება, როცა გამტარი არ არის სწორხაზოვანი) და თვით გამტარები რამდენიმეა (ბევრია).

არაბრტყელი კონტურის ნებისმიერი მცირე უბანი შეგვიძლია წარმოვადგინოთ გამტარის პერპენდიკულარული  და პარალელური მდგენელების ჯამით და ამიტომ

შემდგომ კი ბ) და გ) პუნქტების გამოყენება მიგვიყვანს უკვე ცნობილ შედეგებამდე კონტურით შემოფარგლული და 0 შემოუფარგლავი დენებისთვის.

ე) დაგვრჩა განვაზოგაგოთ შედეგები ნებისმიერი რაოდენობის დენისთვის.

ამ ნაწილის სამართლიანობა პირდაპირ ჩანს ნახაზიდან და მაგნიტური ინდუქციის ვექტორის სუპერპოზიციის პრინციპიდან. იგივე ითქმის კონტურში დენის ნებისმიერი განაწილებისთვის. ამ შემთხვევაში დენების დისკრეტული მნიშვნელობების ჯამი იცვლება უწყვეტი ინტეგრებით  .

თეორემა დამტკიცებულია!

მაგნიტური ველის ძალური მახასიათებლის,  მაგნიტური ველის ინდუქციის ვექტორის გამოყენება ნაყოფიერია თუ ჩვენ შეგვიძლია მისი გათვლა დენების (მოძრავი მუხტების) სივრცეში ცნობილი განაწილების მეშვეობით. ელექტროსტატიკის მსგავსად აქაც შეგვიძლია საუბარი ორ მეთოდზე. ერთი არის პირდაპირი და ეყრდნობა მაგნიტური ველის სუპერპოზიციის პრინციპის და ბიო-სავარ-ლაპლასის კანონის გამოყენებას. ჩვენ ეს მეთოდი ვაჩვენეთ უსასრულო სწორხაზოვანი გამტარის მაგნიტური ველის გათვლისას. პრინციპულად ეს მეთოდი გამოყენებადია ყოველთვის, მაგრამ ახლავს სერიოზული მათემატიკური სირთულეები.

ელექტროსტატიკის მსგავსად მაგნეტოსტატიკაში (ანუ უძრავი მუდმივდენიანი გამტარების შემთხვევაში) ვაყალიბებთ  ინდუქციის ვექტორის ცირკულაციის თეორემას. მისი გამოენება საშუალებას გვაძლევს მნიშვნელოვნად გაადვილდეს გამტარებში დენების მიერ შექმნილი მაგნიტური ველის პოვის ამოცანები მუხტის გადატანის ბრტყელი, ცილინდრული და სფერული სიმეტრიების დროს. ის წარმოადგენს სწორედ მაგნიტური ველის ინდუქციის ვექტორის მოძებნის "მეორე ხერხს". ის გამოიყენება დენების სივრცული განაწილების მხოლოდ ზოგიერთ კერძო ოღონდ საკმაოდ პრაქტიკულ და მნიშვნელოვან  შემთხვევებში. 

უწინარეს ყოვლისა შემოვიტანოთ თვით ვექტორული ველის ცირკულაციის ცნება მაგნიტოსტატიკური ველის მაგალითზე.. .
(განსაზღვრება) ვექტორის (მაგალითად ) ცირკულაცია შეკრულ C კონტურზე ეწოდება შემდეგი სახის მრუდწირულ ინტეგრალს 

ინტეგრების ნიშნის ქვეშ გვაქვს  და  ვექტორების სკალარული ნამრავლი და ის რა თქმა უნდა სკალარული სიდიდეა. მისი, ჩაწერა შეიძლება ასეთი ექვივალენტური ფორმით , სადაც B_l არისვექტორის მდგენელი კონტურის უსასრულოდ მცირე ელემენტზე. 
ახლა კი ჩამოვაყალიბოთ თეორემა.

მაგნიტოსტატიკური ველის ინდუქციის  ვექტორის ცირკულაცია ნებისმიერ შეკრულ C კონტურზე ვაკუუმში ამ კონტურით შემოფარგლულ ზედაპირში გამჭოლავი დენების ძალების ალგებრული ჯამის  პროპორციულია:

                  ( 23.1)

ერთეულთა SI სისტემაში პროპორციულობის კოეფიციენტი  მაგნიტური მუდმივის ტოლია. იმ შემთხვევაში, როცა C კონტურით შემოვარგლულ  ზედაპირში გადის განაწილებული დენები, ( 23.1) გამოსახულების მარჯვენა მხარეს ჯამის ნაცვლად ვწერთ ინტეგრალს . ეს ინტეგრალი წარმოადგენს  ელექტრული დენის სიმკვრივის ვექტორის ნაკადს  ზედაპირში.

ელექტრული მუხტი

ელექტრული მუხტი არის ნაწილაკებისა და სხეულების ელექტრული და მაგნიტური ურთიერთქმედების უნარის საზომი.

ძირიტადი თვისებები:

1. არსებობს „დადებითი“ და „უარყოფითი“ მუხტები. მათ შორის არ არსებობს რაიმე ფუნდამენტური განსხვავება - ანუ სამყაროში არაფერი შეიცვლებოდა თუ შევცვლიდით „-“ ნიშანს „+“ ნიშნით.

2. ელექტრული მუხტი არის ზოგი ნაწილაკის განუყოფელი თვისება! ელექტრული მუხტის მინიმური წილი (|e| \(\cong\)1,6×10-19 კლ) ერთნაირია უარყოფითი და დადებითი ელექტრობისთვის - ამ ტოლობის ფარდობითი სიზუსტე არ არის უარესი 10-20-ზე! მაკროსკოპული სხეულების მუხტი q არის ადიტიური სიდიდე და იცვლება დისკრეტულად, ანუ ყოველთვის სრულდება q = ±N·|e|.

3. ელექტრული მუხტი ემორჩილება კიდევ ერთ ფუნდამენტურ კანონს - ელექტრული მუხტის შენახვის კანონს:

ელექტრულად იზოლირებულ სისტემაში ელექტრული მუხტების ალგებრული ჯამი არ იცვლება დროის განმავლობაში (\(\sum q_{i}=const\)).

ელექტრულად იზოლირებული ეწოდება სისტემას რომელსაც არ ტოვებენ და რომელშიც გარედან არ აღწევენ დამუხტული სხეულები ან ნაწილაკები.

4. ელექტრული მუხტი ათვლის სისტემის არჩევის მიმართ არის ინვარიანტული (ანუ არ არის მასზე დამოკიდებული). ამას გარდა, ის არ არის დამუხტული ნაწილაკის მოძრაობის მდგომარეობაზე.

 

კულონის კანონი

ორ უძრავ წერტილოვან მუხტს შორის ურთიერთქმედების ძალა ვაკუუმში პირდაპირპროპორციულია ამ მუხტების მოდულების ნამრავლის და უკუპროპორციულია მათ შორის მანძილის კვადრატის. ეს ძალა არის მიზიდვის თუ მუხტები საპირისპირო ნიშნებისაა და - განზიდვის თუ ისინი ერთნიშნაა. ძალა მიმართულია მუხტების შემაერთებელი წრფის გასწვრივ.

ε0 არის დიელექტრიკული შეღწევადობა.

სუპერპოზიციის პრინციპი

 

ელექტრული ველის დაძაბულობა

ელექტრული ველის დაძაბულობა ეწოდება ველის მოცემულ წერტილში მოთავსებულ საცდელ (წერტილოვან) მუხტზე მოქმედი ძალის ფარდობას ამ საცდელი მუხტის სიდიდესთან.

                     (15.3)

აქ არის ათვლის მოცემულ სისტემაში წერტილის მდებარეობის მახასიათებელი რადიუს-ვექტორი.

სუპერპოზიციის პრინციპი

წერტილოვანი მუხტის ელექტრული ველი

ელექტრული ველის დაძაბულობის წირები

წირებს, რომლის ყოველ წერტილში მხებები ემთხვევა ელექტრული ველის დაძაბულობის ვექტორის მიმართულებას მოცემულ წერტილში, ეწოდებათ ელექტრული ველის დაძაბულობის წირები (ძალწირები).

 

დაძაბულობის ვექტორის ნაკადი

dS ელემენტურ ზედაპირში    ვექტორის ელემენტური ნაკადი  dФ ეწოდება სიდიდეს:

      

 

 

 

 

მუხტების სისტემის ველის დაძაბულობის ნაკადი ცალკეული მუხტების ნაკადების ალგებრული ჯამის ტოლია:

            

 

~

 

გაუსის თეორემა

♦ ვაკუუმში ნებისმიერ ზედაპირში ელექტროსტატიკური ველის დაძაბულობის ვექტორის ნაკადი ამ ზედაპირის შიგნით მოთავსებული მუხტების ჯამური მუხტის პროპორციულია.

პოტენციალთა სხვაობა

(განსაზღვრება) 1 და 2 წერტილებს შორის ელექტროსტატიკური ველის პოტენციალთა სხვაობა ეწოდება ველის მიერ ამ წერტილებს შორის საცდელი მუხტის გადაადგილებაზე შესრულებული მუშაობის ფარდობას ამ საცდელი მუხტის სიდიდესთან.

  \(\varphi _{1}-\varphi _{2}=\frac{A_{12}^{filed}}{q_{tst}}\)

პოტენციალი

მუშაობა, შეფარდებული მოცემული Р(x,y,z)  წერტილიდან Р0 ნორმირების წერტილში გადასატანი საცდელი მუხტის სიდიდესთან.

წერტილოვანი მუხტის ველის პოტენციალი

ელექტრულ ველში პოტენციური ენერგია 

ელექტრულ ველში ორი წერტილოვანი მუხტის ურთიერთქმედების ენერგია

ექვიპოტენციური ზედაპირები

 მუდმივი პოტენციალის მქონე ზედაპირები. 

დაძაბულობის ძალწირები კვეთენ ექვიპოტენციურ ზედაპირებს მართი კუთხით!

წერტილოვანი მუხტების ველის პოტენციალი

უხტების სისტემის ველის პოტენციალისთვის სამართლიანია სუპერპოზიციის პრინციპი: ის ცალკეული მუხტის მიერ მოცემულ წერტილში შექმნილი პოტენციალის ალგებრული ჯამის ტოლია:

 

 

 

 

 

ელექტრული ველის დაძაბულობის კავშირი პოტენციალთა სხვაობასთან