ექსპერიმენტულად დადგენილი კულონის კანონი და სუპერპოზიციის პრინციპი, ვაკუუმში მუხტების მოცემული სისტემის ელექტროსტატიკური ველის სრულად აღწერის საშუალებას იძლევა. მაგრამ, ელექტროსტატიკური ველის თვისებები შეიძლება გამოისახოს სხვა, უფრო ზოგადი ფორმით, წერტილოვანი კულონის ველების წარმოდგენის გამოყენების გარეშე.
შემოვიტანოთ ელექტრული ველის მახასიათებელი ახალი ფიზიკური სიდიდე - ელექტრული ველის დაძაბულობის ვექტორის Φ ნაკადი. ვთაქვათ სივრცეში, სადაც შექმნილია ელექტრული ველი, გვაქვს რაღაც საკმარისად მცირე ΔS ფართობი. \(\vec{E}\) ვექტორის მოდულის ნამრავლი ΔS ფართობზე და \(\vec{E}\) ვექტორსა და ამ ფართიბის \(\vec{n}\) ნორმალს შორის α კუთხის კოსინუსზე ΔS ფართობში გამავალ დაძაბულობის ვექტორის ელემენტარულ ნაკადს უწოდებენ (ნახ. 1):
ΔΦ = E ΔS cos α = En ΔS,
სადაც En - \(\vec{E}\) ვექტორის ნორმალური მდგენელია
ნახ. 1.
ΔΦ ელემენტარული ნაკადის განმარტებისათვის
ახლა განვიხილოთ რაიმე ნებისმიერად აღებული შემოსაზღვრული S ზედაპირი. თუ ამ ზედაპირს დავყოფთ მცირე ΔSiფართობებად, გამოვთვლით ამ ფართობების გამჭვოლავი \(\vec{E}\) ველის ΔΦi ნაკადებს, შემდეგ კი მათ ავჯამავთ, მივიღბთ S ზედაპირში გამავალი \(\vec{E}\) ვექტორის Φ ნაკადს (ნახ. 2):
\(\Phi=\sum\Delta\Phi_{i}=\sum E_{ni}\Delta S_{i}\)
შემოსაზღვრული ზედაპირის შემთხვევაში ყოველთვის გამოიყენება გარე ნორმალი.
ნახ. 2.
შემთხვევით აღებულ ჩაკეტილ S ზედაპირში გამავალი Ф ნაკადის გამოთვლა
გაუსის თეორემა ამტკიცებს, რომ:
ნებისმიერად აღებული შემოსაზღვრული ზედაპირის გამჭოლი \(\vec{E}\) ელექტროსტატიკური ველის დაძაბულობის ვექტორის ნაკადი ტოლია ამ ზედაპირის შიგნით განლაგებული მუხტების ალგებრული ჯამის განაყოფისა ელექტროლ მუდმივაზე ε0.
\(\Phi=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\sum q_{shinagani}\)
დამტკიცებისათვის ჯერ განვიხილოთ S სფერული ზედაპირი, რომლის ცენტრშიც q მუხტია მოთავსებული. ელექტრული ველი სფეროს ნებისმიერ წერტილში მისი ზედაპირის პროპორციულია და მოდულით ტოლია:
\(E=E_{n}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{R^{2}},\)
სადაც R – სფეროს რადიუსია. სფეროს ზედაპირში გამავალი Φ ნაკადი ტოლი იქნება E-ს ნამრავლისა სფეროს ზედაპირის 4πR2 ფართობზე. აქედან გამომდინარე,
\(\Phi=\frac{1}{\varepsilon_{0}}q.\)
ახლა წერტილოვანი მუხტი შემოვსაზღვროთ ნებისმიერად აღბული S ზედაპირით და განვიხილოთ დამხმარე სფერო R0 რადიუსით (ნახ. 3).
ნახ. 3.
წერტილოვანი მუხტის გარშემო ნებისმიერად აღებულ ფართობში გამავალი ელექტრული ველის ნაკადი
განვიხილით კონუსი წვეროში მცირე სივრცული ΔΩ კუთხით. ეს კონუსი სფეროს ზედაპირზე გამოჰყოფს მცირე ΔS0 ფართობს, ხოლო S ზედაპირზე - ΔS ფართობს. ამ ფართობების განმსჭვალავი ელემენტარული ΔΦ0 და ΔΦ ნაკადები ერთნაერია. მართლაც,
ΔΦ0 = E0ΔS0, ΔΦ = EΔS cos α = EΔS '.
აქ ΔS' = ΔS cos α – ფართობია, რომელსაც წვეროში მცირე სივრცული ΔΩ კუთხის მქონე კონუსი გამოყოფს n რადიუსიან სფეროზე.
რადგან \(E_{0}/E=r^{2}/R_{0}^{2}\) , ხილო \(\Delta S_{0}/\Delta S^{'}=R_{0}^{2}/r^{2}\) ე.ი. \(\Delta\Phi_{0}=\Delta\Phi.\) აქედან გამოდის, რომ ნებისმიერად აღებული ზედაპირის განმსჭვალავი, ამ ზედაპირის შიგნით მოქცეული, წერტილოვანი მუხტის ელექტრული ველის სრული ნაკადი ტოლია დამხმარე სფეროს ზედაპირში გამავალი Φ0 ნაკადისა:
\(\Phi=\Phi_{0}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}.\)
ანალიგიურად შეიძლება ჩვენაბა, რომ თუ ჩაკეტილი S ზედაპირი არ მოიცავს წერტილოვან q მუხტს, ნაშინ ნაკადი Φ = 0. ასეთ შემთხვევა მოცემულია ნახ. 2-ზე. წერტილოვანი მუხტის ელექტრული ველის ყველა ძალწირი სრულად განსჭვალავს S ზედაპირს. S ზედაპირის შიგნით მუხტი არ არის, ამიტომ ამ არეში ძალწირები არც წყდება და არც წარმოიქმნება (იწყება) arabmenhealth.com.
გაუსის თეორემის განზოგადება შემთხვევითად განაწილებული მუხტებისათვის სუპერპოზისიის პრიციპიდან გამომდინარეობს. მუხტების შემთხვევითი განაწილება შეიძლება წარმოვადგინით წერტილოვანი მუხტების \(\vec{E_{i}}\) ელექტრული ველების ვექტორული ჯამი. შემთხვევითი ჩაკეტილი S ზედაპირის მუხტების სისტემის Φ ნაკადის მიიღება ცალკეული მუხტების ელექტრული ველების Φi ნაკადების აჯამვით. თუ მუხტი S ზედაპირის შიგნითაა, მაშინ ის ნაკადში იძლევა \(q_{i}/\varepsilon_{0}\) -ის ტოლ წილს; თუ ეს მუხტი გარეთაა მაშინ მისი ელექტრული ველის წილი ნულის ტოლია.
ამგვარად, გაუსის თეორემა დამტკიცებულია.
გაუსის თეორემა კულონის კანონისა და სუპერპოზიციის პრინციპის შედეგს წარმოადგენს. მაგრამ თუ ამ თეორემის მტკიებას საწყის აქსიომად მივიღებთ, მაშინ კულონის კანონი მისი შედეგი აღმოჩნდება. ამიტომაც გაუსის თეორემას ხანდახან კულონის კანონის ალტერნატიულ ფორმულირებასაც უწოდებენ.
ხშირ შემთხვევაში, გაუსის თეორემის გამოყენებით შეიძლება ადვილად გამოითვალოს დამუხტული სხეულის ირგვლის ელექტრული ველის დაძაბულობა, თუ მუხტების მოცემული განაწილება რაიმენაირ სიმეტრიას ემორჩილება და ველის საერთო სტრუქტურა შესაძლებელია წინასწარ იქნეს შეცნობილი.
მაგალითად შეიძლება იქნეს გამოყენებული ერთგვაროვნად დამუხტული, გრძელი, R რადიუსის მქონე ცილინდრის ველის გამოთვლა. ამ ამოცანაში გვაქვს ღერძული სიმეტრია. სიმეტრიიდან გამომდინარე ელექტრული ველი მიმართული უნდა იყოს რადიუსის გასწვრივ. ამიტომ გაუსის თეორემის გამოსაყენებლად ხელსაყრელია განვიხილოთ იგივე ღერძის მქონე ჩაკეტილი, ორივე მხარიდან დახურული, r რადიუსისა და l სიგრძის მქონე ცილინრული S ზედაპირი.
ნახ. 1.3.4.
ერთგავაროვნად დამუხტული ცილინდრის ველის გამოთვლა. OO' - სიმეტრიის ღერძია.
როცა r ≥ R დაძაბულობის ვექტორის სრული ნაკადი გაივლის ცილინდის გვერდით ზედაპირში, რომლის ფართობიც 2πrl, რადგანაც ორივე ფუძეში გამავალი ნაკადები ნულის ტოლია. გაუსის თეორემის გამოყენება იძლევა:
\(\Phi=E2\pi rl=\frac{\tau l}{\varepsilon_{0}},\)
სადაც \(\tau\) – ცილინდრის სიგრძის ერთეულის მუხტია. აქედან
\(E=\frac{\tau}{2\pi\varepsilon_{0}r}.\)
ეს შედეგი არ არის დამოკიდებული დამუხტული ცილინდრის რადიუსზე, ამიტომ მისი გამოყენება შესაძლებელია გრძელი ერთგვაროვნად დამუხტული ძაფის შემთხვევაშიც.
დამუხტული ცილინდრის შიგნით ველის დაძაბულობის განსაზღვრისთვის უნდა აიგოს ჩაკეტილი ზედაპირი r < R შემთხვევისათვის. სიმეტრიის გამო გაუსის ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის განმსჭვალავი დაძაბულობის ვექტორის ნაკადის ამოცანა ამ შემთხვევაშიც ტოლია Φ = E 2πrl. გაუსის თეორამის თანახმად, ეს ნაკადი ამ ზედაპირის შიგნით მოქცეული მუხტის პროპორციულია. ეს მუხტი ნულის ტოლია. აქედან გამომდინარეობს, რომ ერთგავაროვნად დამუხტული გრძელი ღრუ ცილინდრის შიგნით ელექტრული ველი ნულის ტოლია.
ანალოგიურად, გაუსის თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ელექტრული ველის განსაზღვრისას ისეთ შემთხვევებში, როცა მუხტების განაწილებას რაიმე სიმეტრია აქვს, მაგალითად, ცენრტის, სიბრტყის ან ღერძის მიმართ სიმეტრია. ყოველ ასეთ შემთხვევაში უნდ არჩეულ იქნეს შესაბამისი ფორმის ჩაკეტილი გაუსის ზედაპირი. მაგალითად, ცენტრალური სიმეტრიის შემთხვევაში ხელსაყრელია სფერული ფორმის გაუსის ზედაპირი, რომლის ცენტრიც სიმეტრიის ცენტრს ემთხვევა. ღერძული სიმეტრიისას უნდა აირჩეს ორივე მხრიდან ჩაკეტილი ცილინდრული ზედაპირი, რომლის ღერძიც სიმეტრიის ღერძს ემთხვევა (ზევით განხილულ შემთხვევაში). თუ მუხტის განაწილება არანაირ სიმეტრიას არ ემორჩილება და ელექტტული ველი საერთო სტრუქრურის გამოცნობა შეუძლებელია, გაუსის თეორემის გამოყენება ვერ გაამარტივებს ველის დაძაბულობის განსაზღვრის ამოცანას.
განვიხილოთ მუხტების განაწილების კიდევ ერთი სიმეტრიის მაგალითი - ერთგვაროვნად დამუხტული სიბრტყის ველის განსაზღვრა (ნახ. 5).
ნახ. 5.
ერთგვაროვნად დამუხტული სიბრტყის ველი. σ - მუხტის ზედაპირული სიმკვრივე. S - ჩაკეტილი გაუსის ზედაპირი
ამ შემთხვევაში გაუსის ზედაპირად S მიზანშეწონილია გარკვეული სიგრძის ორივე მხრიდან დახურული, ცილინრის არჩევა. ცილინდრის ღერძი დამუხტული ზედაპირის მართობულადაა მიმართული, ხოლო მისი ბოლოები ტოლი მანძილებითაა დაშორებული მისგან. სიმეტრიულობის გამო ერთგავაროვნად დამუხტული სიბრტყის ველი ყველგან ნორმალის გასწვრივ უნდა იყოს მიმართული. გაუსის თეორემის გამოყენება იძლევა:
\(2E\Delta S=\frac{\sigma\Delta S}{\varepsilon_{0}}\) ან \(E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}},\)
სადაც σ – მუხტის ზედაპირული სიმკვრივე, ე.ი. ფართობის ერთეულზე მოსული მუხტი.
ერთგვაროვნად დამუხტული სიბრტყის ელექტრული ველისათვის მიღებული გამოსახულება მისაღებია სასრული ზომის ბრტყელი დამუხტული ფართობებისთვისაც. ასეთ შემთხვევაში მანძილი იმ წერტილიდან, რომელშიც უნდა განისაზღვროს ველი დაძაბულობა, დამუხტულ ფართობამდე გაცილებით ნაკლები უნდა იყოს ფართობის ზომებზე.