მათიმათიკური ქანქარას დიდ ზომის სხეულს უწოდებენ, რომელიც წვრილ უჭიმვად ძაფზეა დაკიდებული და ამ ძაფის მასის უგულვებელყოფაა შესაძლებელი, მისი მასის სიმცირის გამო სხეულის მასასთან შედარებით. წონასწორობის მდგომარეობაში, როცა ქანქარა უძრავად ჰკიდია, სიმძიმის ძალა \(m\vec{g}\) დრეკადობის \(\vec{F}_{drek}\) ძალითაა გაწონასწორებული. ქანქარას წონასწორობის მდგომარეობიდან φ კუთხით გადახრის შემთხვევაში წარმოიქმნება სიმძიმის ძალის მდგენელი \(F_{\tau}=-mg\sin \phi\) , რომელიც ქანქარას მოძრაობის ტრაექტორიის მხების გასწცრივაა მიმართული (ნახ. 1). ამ ფორმულაში „–„ მიუთითებს, რომ ეს მდგენელი მიმართულია ქანქარას გადახრის საწინააღმდეგოდ.
ნახ. 1.
მათემატიკური ქანქარა. \(\phi\) – ქანქარას კუთხური გადახრა წონასწორობის მდგომარეობისა, \(x=l\phi\) – ქანქარას გადახრა რკალზე.
თუ \(x\)–ით აღვნიშნავთ ქანქარას გადახრას წონასწორული მდგომარეობის l რადიუსის მქონე წრის რკალზე, მაშინ მისი კუთხური გადაადგილება ტოლია \(\phi=\frac{x}{l}\). ნიუტონის მეორე კანონი, რომელიც ჩაწერილია მხების მიმართულებაზე აჩქარებისა და ძალის გეგმილებით, იძლევა:
\(ma_{\tau}=F_{\tau}=-mg\sin \frac{x}{l}.\)
ეს თანაფარდობა უჩვენებს, რომ მათემატიკური ქანქარა რთულ არაწრფივ სისტემას წარმოადგენს, რადგან ძლა, რომელიც ქანქარას წონასწორობაში დაბრუნებას ცდილობს პროპორციულია არა \(x\) გადაადგილებისა, არამედ \(\sin \frac{x}{l}\)–სა.
მხოლოდ მცირე რხევების შემთხვევაში, როცა \(\sin \frac{x}{l}\) დაახლოებით შეიძლება შეიცვალოს \(\frac{x}{l}\) მათამატიკური ქანქარა შეიძლება ჩაითვალოს ჰარმონიულ ოსცილატორად, ე.ი. სისტემად, რომელსაც შეუძლია ჰარმონიული რხევის შესრულება. პრაქტიკულად ასეთი მიახლოება სამართლიანია მხოლოდ 15–20° ტოლი კუთხეებისათვის; ამასთან, სიდიდე \(\sin \frac{x}{l}\) განსხვავდება \(\frac{x}{l}\) –სგან არაუმეტეს 2 %–ით. ქანქარას რხევა დიდი ამპლიტუდების შემთხვევაში ჰარმონიული არ არის.
მცირე რხევების შემთხვევაში მათემატიკური ქანქარასთვის ნიუტონის მერე კანონი ჩაიწერება შემდეგი სახით:
\(ma_{\tau}=-m\frac{g}{l}x.\)
ამგვარად, ქანქარას ტანგენციური აჩქარება \(a_{\tau}\) პროპორციულია საწინააღმდეგო ნიშნით აღებული მისის \(x\) გადაადგილების. ეს სწორედ ის პირობაა, როცა სისტემა სისტემა ჰარმონიულ ოსცილატორს წარმოადგენს. ზოგადი წესის მიხედვით ყველა სისტემისათვის, რომლებსაც შეუძლიათ თავისუფალი ჰარმონიული რხევის შესრულება, აჩქარებასა და წონასწორობის მდგომარეობიდან გადაადგილებას შორის პროპორციულობის კოეფიციენტის მოდული წრიული სიხშირის კვადრატის ტოლია:
\(\omega_{0}^{2}=\frac{g}{l};\; \omega_{0}=\sqrt{\frac{g}{l}}.\)
ეს ფორმულა გამოსახავს მათემატიკური ქანქარას მცირე რხევის საკუთარ სიხშირეს.
აქედან გამომდინარე,
\(T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.\)
ჰორიზონტულ ბრუნვის ღერძზე დამაგრებულ ნებისმიერი სხეულს, მიზიდულობის ველში, შეუძლია შეასრულის თავისუფალი რხევა და, ე.ი. ქანქარას წარმოადგენს. ასეთ ქანქარას ფიზიკურს უწოდებენ (ნახ.2). ის მათემატიკურისაგან მხოლოდ მასის განაწილებით გასხვავდება. მყარი წონასწორობის მდგომარეობაში ფიზიკური ქანქარას მასათა ცემტრი \(C\) მდებარეობს \(O\) ბრუნვის ღერძზე გამავალ მართობზე. ქანქარას \(\phi\) კუთხით გადახრის შემთხვევაში წარმოიქმნება ძალის მომენტი, რომელიც ქანქარას წონასწორობის მდგომარეობაში დაბრუნებას ცდილობს:
\(M=-(mg\sin \phi)d\).
სადაც \(d\) – ბრუნვის ღერძსა და მასათა ცენტრს \(C\) შორის მანძილია.
ნახ. 2.
ფიზიკური ქანქარა
ამ ფორმულაში „–“ , ჩვეულებრივ ნიშნავს, რომ ძალის მომენტი ქანქარას მობრუნებას ცდილობს წონასწორობიდან მისი გადახრის საწიმააღმდეგოდ. მათემატიკური ქანქარას შემთხვევის მსგავსად, დამაბრუნებელი მომენტი \(M\) , \(\sin \phi\)–ს პროპორციულია. ეს ნიშნავს, რომ მხოლოდ მცირე \(\phi\) კუთხის შემთხვევაში, როცა \(\sin \phi\approx \phi\), ფიზიკურ ქანქარას შეუძლია თავისუფალი ჰარმონიული რხევის შესრულება. მცირე რხევების შემთხვევაში
\(M=-mgd\phi\).
ფიზიკურ ქანქარასთვის ნიუტონის მეორე კანონს აქვს სახე
\(I\varepsilon=M=-mgd\phi\).
სადაც \(\varepsilon\) – ქანქარას კუთხური აჩქარებაა, \(I\) – ბრუნვის \(O\) ღერძის მიმართ ქანქარას ინერციის მომენტი. აჩქარებასა და წონასწორობის მდგომარეობიდან გადახრას შორის პროპორციულობის კოეფიციენტის მოდული წრიული სიხშირის კვადრატის ტოლია:
\(\omega_{0}^{2}=\frac{mgd}{I}\) ან \(\omega_{0}=\sqrt{\frac{mgd}{I}}.\)
აქ \(\omega_{0}\) – ფიზიკური ქანქარას მცირე რხევის საკუთარი სიხშირეა.
აქედან გამომდინარე,
\(T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}.\)
\(\omega_{0}\) -სთვის და \(T\)-სთვის უფრო მკაცრ ფორმულებს მივიღებთ, თუ მხედველობაში მივიღებთ კუთხურ აჩქარებასა და კუთხურ გადახრას შორის მათემატიკურ კავშირს: კუთხურ აჩქარება \(\varepsilon\) კუთხურ \(\phi\) გადახრის დროითი მეორე წარმოებულია:
\(\varepsilon (t)={\phi}''(t).\)
ამიტომ ნიუტონის მეორე კანონის გამომსახველ განტოლებას ფიზიკური ქანქარასთვის ექნება სახე:
\({\phi}''+\frac{mgd}{I}\phi=0.\)
ეს თავისუფალი ჰარმონიული რხევის განტოლებაა. ამ განტოლებაში \(\frac{mgd}{I}\) კოეფიციენტს ფიზიკური ქანქარას თავისუფალი ჰარმონიული რხევის წრიული სიხშირის არსი აქვს.
ბრუნვის ღერძის პარალელური გადატანის თეორემის (შტეინერის თეორემა) მიხედვით ინერციის მომენტი \(I\) შეიძლება გამოისახოს ქანქარას მასათა \(C\) ცენტრზე გამავალ და ბრუნვის ღერძის პარალელური ღერძის ინერციის მომენტის \(I_{C}\) –ს საშუალებით:
\(I=I_{C}+md^{2}\).
საბოლოოდ, ფიზიკური ქანქარას თავისუფალი ჰარმონიული რხევის წრიული \(\omega_{0}\) სიხშირისათვის მივიღებთ გამოსახულებას:
\(\omega_{0}=\sqrt{\frac{mgd}{I_{C}+md^{2}}}.\)