ამოცანა 1.1
მატერიალური წერტილის სიჩქარე დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში მის მდებარეობაზე შემდეგნაირად არის დამოკიდებული: \(\vec{v}=c\vec{i}+bx\vec{j}\) ,სადაც c და b – დადებითი მუდმივი სიდიდეებია. დროის საწყის მომენტში მატერიალური წერტილის რადიუს-ვექტორი ნულის ტოლია: r(0) = 0 .
განვსაზღვროთ:
а) მოძრაობის კანონები \(\vec{r}\left ( t \right )\), \(\vec{v}\left ( t \right )\) სიჩქარისა და \(\vec{a}\left ( t \right )\) აჩქარების ცვლილებები, აჩქარების \(a_{\tau }\) ტანგენციალური და \(a_{n }\) ნორმალური მდგენელები;
б) მატერიალური წერტილის ტრაექტორიის განტოლება y(x);
в) ტრაექტორიის სიმრუდის რადიუსი ρ (t) ;
г) \(\vec{v}\left ( t \right )\) სიჩქარესა და \(\vec{a}\left ( t \right )\) აჩქარებას შორის კუთხე \(\varphi \left ( t \right )\).
ამოცანა 1.2
დედამიწის ზედაპირიდან H სიმაღლეზე მყოფი სხეული გაისროლეს ჰორიზონტალურად \(v_{0}\) საწყისი სიჩქარით. განვსაზღვროთ სხეულის მოძრაობის კანონი, ტრაექტორიის განტოლება, სიჩქარისა და აჩქარების ცვლილებების კანონები, აჩქარების ტანგენციური და ნორმალური მდგენელები, ასევე ტრაექტორიის სიმრუდის რადიუსი დროის ნებისმიერ მომენტში.
ამოცანა 1.3
ნავი კვეთს მდინარეს მდინარის მიმართ მუდმივი \(\vec{v}_{n}\) სიჩქარით, რომელიც მდინარის დინების სიჩქარის პერპენდიკულარულია. d განის მქონე მდინარის დინების მოდული პარაბოლური კანონით იზრდება ნაპირებიდან მდინარის შუისკენ 0 მნიშვნელობიდან \(\vec{v}_{m}\) მნიშვნელობამდე. ვიპოვნოთ ნავის ტრაექტორიის განტოლება, მისი მოძრაობის \(\tau\) დრო, ასევე ნავის \(l\) დინების მიმართულებით წატაცება ნაპირიდან შეცურვის ადგილიდან საპირისპირო ნაპირზე მიყუდების ადგილამდე.
ამოცანა 1.4
განვსაზღვროთ \(\vec{v}_{1}\) სიჩქარით მოძრავი ტრამვაის გვერდითა მინაზე წვიმის წვეთების ტრაექტორიის ფორმა, როცა ტრამვაი ამუხრუჭებს \(\vec{a}\) აჩქარებით. წვიმის წვეთები ეშვება ვერტიკალურად ქვევით მიწისადმი მუდმივი \(\vec{v}_{2}\) სიჩქარით.
.
ამოცანა 1.5
მყარი MN ძელაკის ბოლოები თავისუფლად სრიალებენ MON კუთხის გვერდებზე. ვიპოვნოთ ძელაკის იმ P წერტილის ტრაექტორია, რომელიც მას ყოფს а და b სიგრძეების მქონე ნაწილებად.
ამოცანა 1.6
ჰორიზონტულ ზედაპირზე განთავსებულ სოლზე, რომლის ფუძის წვეროს კუთხე არის α, მცირე ჭოჭონაქზე (რომლის ღერძიც დამაგრებულია სოლის ზემო წერტილზე) გადადებულია უჭიმვადი ძაფით გადაბმული 1 და 2 სხეულების სისტემა. გამოვსახოთ სხეულების კინეტიკური ბმის განტოლებები (სხეულების კინეტიკური მახასიათებლების დანაკავშირებელი განტოლებები) სოლისა და ორი სხეულის აჩქარებებისთვის თუ სხეული 2 მოძრაობის პროცესში არ შორდება სოლის ვერტიკალურ ზედაპირს.
ამოცანა 1.7
სხეულთა სისტემა შედგება ორი ჭოჭონაქისა და მათზე ჩამოკიდებული ორი სხეულისგან. ერთერთი ჭოჭონაქი შედგენილია ორი კოაქსიალური ჭერისადმი უძრავი ღერძით დამაგრებული ცილინდრებისგან. ცილინდრების რადიუსებია r და R. პირველი სხეული ჩამოკიდებულია ძაფზე, რომელიც გადახვეულია r რადიუსის მქონე ცილინდრზე, მეორე კი ძაფზე, რომელიც მიმაგრებულია მეორე ჭოჭონაქის ღერძზე. ვიპოვნოთ მეორე სხეულის აჩქარება, თუ ცნობილია, რომ პირველი სხეულის აჩქარება არის a1. ძაფები უჭიმვადად ჩავთვალოთ.
ამოცანა 1.8
ღერძზე დამაგრებულ R რადიუსის მქონე ლილვზე დახვეულია თოკი, რომლის ბოლოზე ჩამოკიდებულია ტვირთი და იგი ეშვება ქვემოთ. ტვირთი მოძრაობს კანონით: \(x=x_{0}+bt^{2}\) სადაც \(x_{0}\) და \(b\) – მუდმივი დადებითი სიდიდეებია. განვსაზღვროთ სიჩქარე ω და აჩქარება β ლილვის ზედაპირის ნებისმიერი წერტილისა, a აჩქარების მოდული, მისი ნორმალური და ტანგენციალური მდგენელები და ჩავწეროთ ამ წერტილის მოძრაობის კანონი.
ამოცანა 1.9
სიბრტყეზე მოძრავი მატერიალური წერტილის მოძრაობის კანონი მოცემული პოლარულ კოორდინატთა სისტემაში არის ასეთი: r = r(t), φ = φ(t). განვსაზღვროთ სიჩქარისა და აჩქარების პოლარული და დეკარტის ორტებით განსაზღვრული პროექციების დროზე დამოკიდებულების კანონები. დეკარტის კოორდინატთა სისტემის სათავე ემთხვევა პოლარული სისტემის პოლუსს, ხოლო დეკარტის კოორდინატთა სისტემის X ღერძი მიმართულია პოლარული ღერძის გასწვრივ.
ამოცანა 1.10
მატერიალური წერტილის მოძრაობა პოლარულ კოორდინატთა სისტემაში მოცემულია პოლარული კოორდინატების შემდეგი ურთიერთკავშირით \(r\left ( \varphi \right )=2a\left ( 1+\cos \varphi \right )\), ამასთან პოლარული კუთხე იზრდება წრფივად დროში \(\varphi \left ( t \right )=bt\). განვსაზღვროთ სიჩქარისა და აჩქარების მოდულების დამოკიდებულება დროზე.
ამოცანა 1.11
პლანეტა მოძრაობს მზის ირგვლივ კეპლერის კანონების შესაბამისად ელიფსურ ტრაექტორიაზე \(r\left ( 1-e\cos \varphi \right )=\rho\) . ელიფსის პარამეტრი \(\rho\), ექსცენტრისიტეტი \(e\) და სექტორული სიჩქარე \(\sigma\) ჩავთვალოთ მოცემულად. განვსაზღვროთ პლანეტის აჩქარების მდგენელების დამოკიდებულება \(r\) და \(\varphi\) პოლარული სისტემის კოორდინატებზე.
ამოცანა 1.12
R რადიუსის მქონე ვერტიკალურ ღრუ ცილინდრში მოძრაობს მცირე ზომის სხეული. დროის საწყის მომენტში სხეულის სიჩქარე პერპენდიკულარულია ცილინდრის ღერძისა და უდრის \(v_{0}\)-ს. განვსაზღვროთ მატერიალური წერტილის სიჩქარისა და აჩქარების ცვლილებების კანონები ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემაში, ასევე სიჩქარესა და აჩქარებას შორის α(t) კუთხე.